Cours « MATH0463-1 » Analyse Fonctionnelle I Année 2017-2018

Organisation

Ce cours est assuré au premier quadrimestre par Jean-Pierre Schneiders. Un bref aperçu est disponible dans les engagements pédagogiques. Comme il n'est organisé que les année académiques paires, il n'a pas lieu en 2017-2018.

Textes de référence

Des notes sont en préparation mais ne sont pas encore disponibles. Les étudiants doivent donc prendre eux-même des notes lors du cours oral. La consultation des ouvrages cités dans la bibliographie sommaire ci-dessous peut également être utile. Le plan du cours de cette année est le suivant :

1. Topologies des espaces fonctionnels usuels.
2. Topologies des espaces linéaires à semi-normes.
3. Semi-normes de jauge.
4. Liens entre les notions d'espace linéaire à semi-norme et d'espace vectoriel topologique localement convexe.
5. Sous-espaces, espaces quotients, sommes et produits directs d'espaces linéaires à semi-normes.
6. Etude des axiômes de séparation pour les espaces linéaires à semi-normes; espace séparé associé à un tel espace.
7. Etude des axiômes de dénombrabilité pour les espaces linéaires à semi-normes; théorème de métrisabilité; théorème de séparabilité de Stone-Weierstrass.
8. Suites de Cauchy généralisées dans les espaces linéaires à semi-normes; complétude et construction du complété séparé d'un tel espace; espaces de Fréchet; théorème de Banach-Schauder.
9. Compacité et précompacité dans les espaces linéaires à semi-normes; théorème de finitude de Riesz, théorème d'Arzela-Ascoli général, précompacts des espaces usuels.
10. Théorie spectrale élémentaire des opérateurs compacts; opérateurs à indice; théorème de la perturbation compacte.
11. Dual d'un espace linéaire à semi-norme; exemples de base; théorème de Hahn-Banach; théorème des bipolaires et applications; théorème de Banach Steinhaus.
12. Limites projectives et inductives d'espaces linéaires à semi-normes et topologie de l'espace des distributions.

Bibliographie sommaire

Sur la topologie générale

1. Bourbaki, N., Théorie des ensembles, Éléments de mathématique, Diffusion C. C. L. S., Paris, 1977.
2. Bourbaki, N., Topologie générale I : Chapitres 1 à 4, Éléments de mathématique, Diffusion C. C. L. S., Paris, 1971.
3. Bourbaki, N., Topologie générale II : Chapitres 5 à 10, Éléments de mathématique, Diffusion C. C. L. S., Paris, 1974.
4. Bourbaki, N., Topologie générale II : Chapitres 5 à 10, Éléments de mathématique, Diffusion C. C. L. S., Paris, 1974.
5. de Wilde, M., Topologie générale, Cours de Licence, Université de Liège, 1997.
6. Kelley, J. L., General Topology, The University Series in Higher Mathematics, Van Nostrand, Toronto, 1955.

Sur l'analyse fonctionnelle

1. Bourbaki, N., Espaces vectoriels topologiques : Chapitres 1 à 5, Éléments de mathématique, Masson, Paris, 1981.
2. Dieudonné, J., Éléments d'analyse I : Fondements de l'analyse moderne, 3^e édition, Cahiers Scientifiques XXVIII, Gauthier-Villars, Paris, 1969.
3. Dieudonné, J., Éléments d'analyse II : Chapitres XII à XV, 2^e édition, Cahiers Scientifiques XXXI, Gauthier-Villars, Paris, 1974.
4. Garnir, H. G., de Wilde, M. et Schmets, J., Analyse fonctionnelle I : Théorie générale, Mathematische Reihe 36, Birhäuser, Bâle, 1968.
5. Garnir, H. G., de Wilde, M. et Schmets, J., Analyse fonctionnelle II : Mesure et intégration dans l'espace euclidien E_n, Mathematische Reihe 37, Birhäuser, Bâle, 1972.
6. Garnir, H. G., de Wilde, M. et Schmets, J., Analyse fonctionnelle III : Espaces fonctionnels usuels, Mathematische Reihe 45, Birhäuser, Bâle, 1973.
7. Köthe, G., Topological Vector Spaces I, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 159, Springer, Berlin, 1969.
8. Köthe, G., Topological Vector Spaces II, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 237, Springer, New York, 1979.
9. Schmets, J., Introduction aux espaces linéaires à semi-normes, Cours de Licence, Université de Liège, Année académique 1978-1979.
10. Schmets, J., Équations différentielles et espaces d'hyperfonctions (cas d'une variable), Cours de 3^e cycle, Université de Liège, Année académique 1980-1981.